No átomo de hidrogênio, a distância média entre o elétron e o próton é de aproximadamente 0,5Å. Calcule a razão entre as atrações coulombiana e a gravitacional das duas partículas no átomo. A que distância entre o elétron e o próton sua atração coulombiana se tornaria igual à atração gravitacional existente entre eles no átomo? Compare o resultado com a distância Terra - Lua.

Capitulo 5, V1 do Moysés Nussenzveig. 

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Agora, vamos retirar os dados pelo problema.

Dados (explícitos):

Massa do próton (mp) = 1,67*10^-27 kg

Massa do elétron (me) = 9,11*10^-31 kg

Carga elementar (e) = 1,67*10^-19 C

Constante eletrostática (k) = 9,0*10^9 N.m²/C² 

Constante gravitacional (G) = 6,67*10^-11 N.m²/kg²

Distância (d) = 0,50 Å (5*10^-10m)

Dados (implícitos):

Este PR traz a relação existente entre a força elétrica que aplica a Lei de Coulomb [Fe = k*(q1*q2) / d²] e a força gravitacional de Newton [Fg = G*(m1*m2) / d²]. Ou seja, o desenvolvimento deste tomam as duas como proposição para a solução pedida. Então, vamos lá.

(a) A razão entre as atrações

Fe / Fg = [k*(q1*q2) / d²] / [G*(m1*m2) / d²]

Fe / Fg = k*e² / G*(mp*me)

Fe / Fg = [9,11*10^-31*(1,67*10^-19)²] / {6,67*10^-11*[(1,67*10^-27)*(9,11*10^-31)]}

Fe / Fg = 2,27*10^-39

(b) A que distância entre o elétron e o próton sua atração coulombiana se tornaria igual à atração gravitacional?

Fe = Fg

k*(q1*q2) / D² = G*(mp*me) / d²

G*(mp*me)* D² =  d²*k*e²

D² = (d²*k*e²) / G*(mp*me)

A partir da equação montada (acima) podemos determinar a distância pedida, mas precisamos entender algumas coisa: (1) perceberam que diferenciamos D (o que procuramos relacionado a elétrons e prótons) do "d" que é a distância da gravitacional que será substituída pela distância entre elétrons e prótons, já que que o problema me forçou a isso fazendo a relação entre as duas atrações. (2) Ao elaborar a nova equação percebe-se que encontramos nela a mesma razão que calculamos anteriormente [k*e² / G*(mp*me)] e que já conhecemos o resultado. Assim, podemos (re)escrever, para encontrar a distância pedida, da seguinte forma,

D² = d²*[(k*e²) / G*(mp*me)]

D² = d²*(2,27*10^-39)

D = raiz [(5*10^-10)² * (2,27*10^-39)]

D = 2,38*10^9m

(c) Compare o resultado com a distância Terra - Lua.

A distância entre Terra - Lua (DLua)é aproximadamente 3,84*10^8m, desta maneira fazemos,

D / DLua = 2,38*10^9 / 3,84*10^8

D / DLua = 6,20

Esperamos ter ajudado em algo.

Até a próxima.

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