Determine a aceleração do asteroide (a) na notação dos vetores unitários e como (b) um módulo e (c) um ângulo em relação ao semieixo x positivo. 

Questão do capítulo 5 de Halliday e Resnick (10ª edição). 



Como de costume sugiro a você que façam uma leitura inicial extraindo dos dados explícito da questão, fica mais fácil a análise na resolução para sabermos o que buscar com estes dados de acordo com o que a questão pede.
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Então vamos lá!👊

Extração dos dados:
1. Massa do asteroide = 120kg
2. Forças envolvidas: F(1)= 32N; F(2)=55N; F(3)=41N; θ1=30º e θ2=60º

O que o problema pede:
Determine a aceleração do asteroide (a) na notação dos vetores unitários e como (b) um módulo e (c) um ângulo em relação ao semieixo x positivo.

Observações: Com os dados em mão e o que se pede na questão vejam que no item (a) fala-se em "notação de vetores", ou seja, i, j e/ou k. No item (b) em módulo, ou seja, um número. Já no item (c) a atenção é para a referência "semieixo x positivo".

Hora dos cálculos!!!

Primeiro passo: Decompor as forças do sistema apresentado. Vejamos!
Desta forma temos agora que trabalharmos nos eixos x e y, com a resultantes das forças (Fr) em cada eixo iguais a zero. Logo temos que,

No eixo X 👉 Frx = 0 :. Frx = F2 + F1x + F3x 

No eixo Y 👉 Fry = 0 :. Fry = F1y - F3y

É válido lembrar que no eixo x trabalhamos com o eixo dos cossenos. No y com o eixo dos senos. Desta forma seguimos para o segundo passo, montar as equações.

No eixo X 
Frx = F2 + F1.cos θ1 + F3.cos θ3 

No eixo Y
Fry = F1.sen θ1 - F3.sen θ3 

Deixo aqui uma observação, existem outros caminhos para resolução desta, além deste que estamos seguindo. Como estamos acostumados a trabalhar mais com módulos estamos optando em ir por este rumo (já que a questão permite) e depois levamos para o que o problema pede!

Continuando, determinaremos o módulos das resultantes em cada eixo trabalhados. Onde temos que,

No eixo X    
Frx = F2 + F1.cos θ1 + F3.cos θ3
Frx = 55 + (32).cos 30º + (41).cos 60º 
Frx = 55 + 27,84 + 20,50 
Frx = 103,34N  

No eixo Y
Fry = F1.sen θ1 - F3.sen θ3 
Fry = (32).sen 30º - (41).sen 60º 
Fry = 16 - 35,67 
Fry = - 19,67N

A força resultantes do sistemas em notação de vetor unitário é,

Fr = (103,34N)i + (-19,67N)j

No entanto o que o problema está pedido é a aceleração, a qual de posse das resultante em cada eixo, podemos determinar utilizando a 2ª Lei de Newton (F = m.a). Sendo "m" a massa do asteroide. Então, 

No eixo X
Frx = m . ax
103,34 = 120 . ax
ax =103,34 / 120 
ax = 0,86 m/s² 

No eixo Y
Fry = m . ay
-19,67 = 120 . ay 
ay = - 19,67 / 120
ay = - 0,16 m/s²

E pronto encontramos a aceleração em cada eixo. Agora vamos colocar esta em "conotação vetorial". Logo ficamos com,

a = (0,86 m/s²) i +(- 0,16 m/s²) j 

Para você entender melhor o resultado do item b, precisamos visualizar como ficou nosso sistema. Vejam,

O sistema agora aponta sua resultante para direção e sentido que o asteroide segue com suas respectivas acelerações em cada eixo. Cujo valor pode ser determinado utilizando o nosso conhecido "Teorema de Pitágoras".


Utilizaremos o mesmo desenho acima para determinarmos o ângulo pedido pela questão. Para isso atentem que o mesmo esta na parte negativa de nosso cartesiano, lembrando que o eixo de referência posto para nós é o x. Assim podemos definir o ângulo como sendo,


E finalmente chegamos o último item da questão!

Valeu galera. Esperamos ter ajudado!👍

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