TRELIÇAS PLANAS

TRELIÇAS PLANAS, A FÍSICA E A ENGENHARIA LADO A LADO.

Este artigo, dentro do nosso modus operandi, vem conciliando os conhecimentos da Física a outras áreas, neste caso aplicando na engenharia, a fim de solucionar as diversas atividades que esta área necessita.
Trazemos uma pouco de discussão sobre um tema bastante difundido nas aplicações das atividades de engenheiros, treliças planas. Com o objetivo de discutir sobre cálculo de forças que atuam em barras das treliças, utilizando o método dos nós, esperamos possibilitar melhor entendimento sobre o assunto. Também por ser um ponto onde temos encontrado bastante dificuldades por parte de alunos na acadêmia. Boa parte, talvez pelo fato da existência de tão pouco material, dada a dimensão da quantidade de conceito que este tema traz implícito e explícitos em seu corpo de discussões.

Para isso, iniciamos uma discussão conceitual que possibilitam análise críticas do sistema estudado, produzindo assim, conhecimento para análise de situações futuras e diversas que venham surgir.

Boa leitura!

O QUE SÃO TRELIÇAS PLANAS?

Denomina – se TRELIÇA PLANA o conjunto de elementos de construção (barras redondas, chatas, cantoneira, perfis em I e U, etc...), um sistema reticulado (indeformável) interligados entre si, por nós (rótulas) sob a forma geométrica triangular, através de pinos, soldas, rebites, parafusos, que visam formar uma estrutura rígida, cujo uma das finalidades é a de resistir a esforços aplicado sobre a mesma. Surgiu como uma alternativas a vigas, por exemplo, para "vencerem" vão maiores com baixo custo.

Existem diverso tipos de treliça, cujo o método de calculo das mesma seguem o mesmo padrão. Que focam na solicitações interna da peça.
Estas solicitações, tem sua análises baseadas, fundamentalmente em princípios vetoriais.

R - N = 0 R + N = 0

N = R N = - R

(Tração) (Compressão)

No nosso caso, tais solicitações, TRAÇÃO e COMPRESSÃO, tem sua ocorrência estudada em barras!

Com essa mescla de BARRAS (b), REAÇÕES (r) e NÓS (n), podemos classificar, no que referimos a estaticidade as estrutura em HIPOSTÁTICA, ISOSTÁTICA e HIPERESTÁTICA. Considerando a simples matemática.

(1) r + b < 2.n

(Hipostática)

(2) r + b = 2.n

(Isotática)

(3) r + b > 2.n

(Hiperestática)

Vale salienta, ainda, que a treliça no tocante a DEFORMAÇÃO, podem classificar - se como (i) simples, (ii) composta ou (iii) complexa.

MÉTODOS DE CALCULO DE TRELIÇAS PLANAS

Temos dois principais métodos, que podemos citar neste, utilizado para determinação dos esforços nas barras de uma treliça plana.

(1) Método do nós ou Método de CREMONA;

(2) Método de RITTER ou Método das secções.

Este artigo optou, neste momento, em apresentar somente ao primeiro método, acima mencionado, deixaremos o outro para artigos futuro, se houver interesse.

MÉTODO DOS NÓS (MÉTODO DE CREMONA)

Este método, consiste em estabelecer o equilíbrio entre as forças aplicadas em cada nó e os esforços normais nas barras que correspondem no nó. Para isto, vamos seguir 03 (três) passos simples.

(i) Determinação das reações de apoio. Considerando as condições de equilíbrio.

(ii) Identificação do tipo de solicitação em cada barra (barra tracionada ou barra comprimida);
Para este item, vamos ter que lançar "mãos" de estimativa, onde iremos aferir quais barras serão consideradas tracionada e quais barras serão comprimidas. Para somente com o calculo definitivo dizermos a real situação.
Como sugestão para esta estimação, procedemos como sendo todas as barras superiores no perímetro da treliça sejam comprimidas, enquanto que a(s) barra(s) inferior(es) e interna a peça sejam tracionadas.
Salientamos que existe outras maneiras as quais são realizadas esta função. No entanto, embora aparente mais "didaticamente" compreensível, existem limites e restrições.

(iii) Verificação do equilíbrio de cada nó da treliça, iniciando – se sempre os cálculos pelo nó que tenha o menor número de incógnitas. Para isso, escolhe - se o nó, separa - se do conjunto e desenvolve o cálculo, fundamentando - se principalmente, em conceito de vetores. O ideal que que você escolha um nó que possua no máximo duas incógnitas "desconhecida" (a serem determinadas).

UM MODELO DE TRELIÇA PLANA

Como falamos acima existem vários tipos de treliças, muitos modelos. E para demonstrarmos o que queremos discutir neste artigo, tomaremos como exemplo, um molde muito encontrado em nosso cotidiano. O que comumente denominam de "tesoura", seja ela de madeira ou em perfis de aço.

De acordo o a figura, vamos conferir o que chamamos de barras e o que podemos dizer ser o nó (rótula).

Assim sendo vamos dar conotações as estes elementos a fim de nos orientar no momento do cálculo.

Agora, sabemos que cada barras destas acima denominadas, há um esforço interno (Forças que agem longitudinal da peça). Percebam que nomeei cada barra por um número e cada nó por uma letra. Porém, você pode fazer sua própria opção, apenas procure ser organizado!
Colocaremos esta estrutura sobre dois apoios sendo um do primeiro gênero (com restrição somente a esforços verticais), em B, e outro do 2º gênero (resistindo a esforços verticais e horizontais), em A.

Pronto! Temos então o sistema completo para análise e cálculo.
Agora antes de iniciarmos os cálculo, vamos verificar no sistema, se temos todas as informações necessárias para quaisquer interrogações que surjam durante nossa física-matemática, tipo: altura(s) da treliça, número de barras, número de nós, ângulos, vão teórico, etc.

Verificado?
Então, vamos iniciar o processo de cálculo pelo método dos nós.
(1) Encontramos as reações de apoio. Neste caso Ra e Rb.
Ótimo!

(2) Vamos definir agora (lembrando: de forma estimada considerando o método que esta sendo utilizado), quem (nesta treliça) será comprimida e quem será tracionada.

(3) Agora separamos, para análise, cada nó e suas respectivas forças, a serem determinadas, para definir sua intensidade de compressão ou tração.

Observem como cada nó esta composto. Onde nesta composição colocada temos então forças que comprimem e/ou tracionam este nó, considerando a estimativa da as barras anteriormente. Esta é uma visão geral, não necessariamente você necessite fazer todo esse diagrama completo conforme este abaixo. O que precisa ser feito é a separação e análise do nó.

Vamos, "pegar" o nó A, que tem apenas duas incógnitas desconhecidas. Vejam que sobre ele também temo as reações Ha, que é igual a 0, pois não temos força horizontal, e Ra.
E quando fazemos isto, o colocamos como origem de um plano cartesiano.

Você, também, para melhor trabalhar, pode ver o mesmo sistema, de uma outra maneira. De uma outra forma geométrica semelhante a mostrada acima.
É apenas uma estratégia didática que muitos se utilizam para melhor entender a postura de cada vetor representando as barras.

Você escolhe o melhor para você!

De qualquer maneira temos neste caso uma força FB1 inclinada e que, por teorias, se decompões em duas outras, um em X e outra em y.
Vamos então determinar as forças neste nó, trabalho o equilíbrio no eixo x e no eixo y!
Percebam que em y você já determinou Ra, no início, logo já temos uma de duas. Vou começar por ele!

ƩFy = 0

Ra - FB1y = 0

Ra - FB1 . sen θ = 0

FB1 = Ra / sen θ

Assim, acabamos de determinar a força que atua na barra 1 (FB1), sendo que a mesma esta sofrendo um esforço de COMPRESSÃO, conforme estimado no inicio. Isso se confirma dado a foto do sinal do resultado encontrado ser positivo confirma a condição acima (N = - R).
Agora vamos, no mesmo nó, para o eixo x, determinar a força FB2. Vejam que já conhecemos FB1.

ƩFx = 0

Ha - FB1x + FB2 = 0

0 - FB1 . cos θ + FB2 = 0

FB2 = FB1 . cos θ

FB2 = (Ra / sen θ) . cos θ

FB2 = Ra . (cos θ / senθ)

Conhecendo FB1 e FB2 no nó A, podemos seguir com a mesma lógica física para as demais barras, neste caso em uma sequência (sugestão) que neste caso seria ir para a barra 4, onde temos 3 incógnitas, no entanto, acabamos de encontrar uma (FB1) nos restando, neste nó, apenas FB4 e FB3.

Acredito que perceberam que ambas as forças, assim como, as demais, possuem uma dependência do valor de θ. Sendo que este na maioria das vezes precisamos encontrar. Vejam.

tg θ = HTotal / (LTotal/2)

tg θ = 2 . HTotal / LTotal

θ = arctg (2 . HTotal / LTotal)

Isso lhe permite conhecer o(s) ângulo(s) de sua treliça plana, o que consequentemente lhe dá condições para determinar as forças solicitadas. Que você viram ser algo, digamos que, "mecânico", ou seja, operação que vai se repetindo a cada nó, até não restar mais nem um nó e força a ser definida.
Para melhor entendimento de vocês, vamos, em um exemplo, estimar valor para esta situação, a fim de podermos calcular nossa treliça sem muitos problemas!
Vamos lá!