[...] Que massa (lastro) deve ser jogada para fora para que o balão tenha uma aceleração para cima de módulo a? Suponha que a força vertical para cima do ar quente sobre o balão não muda com a perda de massa. (Halliday & Resnick, Walker, 10ªed. ex 61, p.293)

Gente, temos aqui uma questão de mecânica clássica onde, como em muitas desta uma das primeira atitudes para a resolução é que vocês busquem conhecer (identificar) todas as forças que atuam no teu sistema. Desta forma encontraram mais rápido e de maneira mais fácil o caminho. Vejamos o que temos nesta.

Vejam que ele diz que o balão "desce", logo  atribuo uma força peso (P) e que esta é superior a força que faz com que o balão suba que estamos chamando aqui de Fs. Assim posso concluir que se tenho uma força resultante (Fr) no eixo vertical y ela se apresenta da seguinte forma:

Fr(y) = P - Fs

Desta maneira, observando o que acabamos de afirmar, e considerando a 2ª lei de Newton (Fr = m.a), podemos como etapa inicial considerar que temos o seguinte:

P - Fs = M . ay
M.g - Fs = M . ay
Fs = - M . ay + M . g
Fs = M.(g - a)

Nesta condição inicial, estamos considerando toda a massa do sistema o que esta fazendo com que o balão desça. Para uma segunda condição em que se quer saber a massa necessária para que isso não aconteça, ou seja, onde a Fs (que nós já conhecemos) se torne maior que P (que também conhecemos), podemos dizer que nossa força resultante agora, se define como sendo Fr(y) = Fs - P. Sendo que neste caso, nossa massa, que era total e chamamos de M, agora se apresentará como sendo M - m. Ou seja, surge uma massa menor, que é o que procuramos conhecer seu valor para que o balão suba. Assim, temos que,
Fr(y) = M . ay
Fs - P = (M - m).ay
 M.(g - a) - (M - m).g = (M - m).a
M.g - M.a - M.g + m.g = M.a - m.a

Vejam que colocamos todas as forças já conhecidas, relacionadas as massas, já que é o que estamos procurando, uma delas. Desta maneira vamos isolar a que queremos definir, segundo o problema em questão.
m.g + m.a = M.a + M.a
m.(g + a) = 2.M.a
m = 2.M.a / (g + a)

Até a próxima!!!

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